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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
3.
Hallar subespacios con condiciones dadas.
b) Hallar dos subespacios distintos de $\mathbb{R}^{3}$ que contengan al vector $v=(1,1,0)$ y no contengan al vector $w=(0,1,1)$.
b) Hallar dos subespacios distintos de $\mathbb{R}^{3}$ que contengan al vector $v=(1,1,0)$ y no contengan al vector $w=(0,1,1)$.
Respuesta
Vamos a armarnos primero un subespacio $S$ de $\mathbb{R}^3$ que contenga al vector $v=(1,1,0)$ (así que lo voy a proponer como uno de los generadores) pero que no contenga al vector $w=(0,1,1)$ (así que me tengo que asegurar que los generadores de $S$ sean LI con el vector $w$)
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Por ejemplo, yo voy a proponer este:
$S = \langle (1,1,0),(0,0,1) \rangle$
¿Por qué elegí ese segundo generador? Porque me es muy fácil darme cuenta que esos generadores de $S$ son LI con el vector $w$. Fijate qué pasa si me armo la matriz con los generadores de $S$ y el vector $w$...
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
Sólo intercambiando Fila $2$ con Fila $3$ ya la tengo escalonada, y no hay ninguna fila de ceros.
$F_2 \leftrightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Así que el subespacio $S = \langle (1,1,0),(0,0,1) \rangle$ es uno de los que cumple lo pedido por el enunciado: contiene al vector $v=(1,1,0)$ y no contiene al vector $w = (0,1,1)$ (porque sus generadores son LI con $w$)
Me falta ahora armarme otro subespacio distinto que también cumpla lo pedido. Y dejé para el final el más fácil, el más obvio, que sería este:
$T = \langle (1,1,0) \rangle$
Fijate que contiene al vector $v$ (claro, es su generador), no contiene a $w$ (no son múltiplos) y claramente es distinto del subespacio $S$ que propuse antes (tienen diferente dimensión).
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